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为什么？ 直观上的感觉是，x趋于无限大，它的导数便趋于0，于是也便趋于0，最终的极限结果就是0了。这似乎很简单。但如果基于数学分析的角度而言，这每一步的理所当然，都需要经过证明，所以对于数学分析而言，这个简单的极限的推导过程，并不轻松，而是要啰里啰唆的说上一大堆，才敢给出结论来的。 它大体上分为两步：1、首先证明；2、然后利用连续函数的复合法则，完成复合函数求极限。以下是每一步的细节： 一、首先使用语言证明： 《普》中并未給出的證明、甚至都沒有提到這一事實，它似乎是默認讀者知道且相信這一極限的結果。這個簡單的極限從直觀上也確實一目瞭然，但是在更嚴謹的數學教材中，其實是會通過語言對它進行證明的。語言和語言相似，都是極限論證語言。使用语言完成证明的过程如下： 1、首先观察原始的题目，并且将原始题目调整一下写法：； 2、这个新的写法不再使用“等号”，从而表达式的意思变成了：当自变量x趋于无限大时，结果（因变量）将趋于0。调整成这样的表达之后，假设这个结论是成立的，那么它将意味着计算的结果与它所趋近于的数值0之间，是存在着一个距离的，而且这个距离可以表达出来，将这个距离表达为：； 3、此时 的含义就是“距离”，并且是 与 之间的距离。我们要证明的是，这个距离 可以任意的小、随意的小，想要多小就多小。换言之，假设 的确可以任意的小能够实现，意味着 与 可以无限接近，便可以将 视为 了； 4、现在直接大胆的提出：当任意指定时，自变量 时，的结果就比还要小。能否找到这个大胆的想法中的M呢？显然是可以的，通过不等式简单的变换，就能确定，也就是说自变量 时的所有x取值，都可以满足 的结果比还要小； 5、至此就可以得出结论：无论怎样小的 指定，都有 M 范围选择点可明确出来。因而可以实现，并且认为。此时的表达式便是：。（这里似乎还缺少对下标 的展开推导）。 二、连续函数的极限连续性：…

昨天写的《沃利斯曾经解决过的几道积分问题》还存在一个令我感到“困惑”的问题，今天解决了，很开心。 昨天的文章中提到的积分：，通过换元法可以得到它的三角函数形式、也就是沃利斯积分形式：。而这两个等价的积分式又可以被统称为B积分，进而推导成Gamma计算式，完成求解。 这是昨天的文章中谈到的内容，结论无疑。 但是我的困惑在于：当我对上面诸多计算式，分别通过笔算、SageMath计算、计算器计算对比验证的时候，却发现我使用的计算器无法得到正确的结果，现象如下： 积分 积分式 Gamma结果 SageMath结果 fx-991CN结果 多项式积分 正确 正确 正确 沃利斯积分 正确 正确 1.569…… 问题现象表 可以看出我使用计算器得到的结果并不是正确的，原因在于在这个计算器的设置中有结果表达形式的设置，之前使用的是以数值作为结果表达形式，应该调整成使用弧度作为结果表达形式，通过这个设置的改变，才能得到正确的结果。 之所以要如此繁复的、不厌其烦的做这个验证，主要是心里没底，担心自己理解的不对。现在所有的辅助自动计算结果都与理论吻合、手算结果一致，我就可以放心大胆地说，这个知识点，我算是基本掌握了。 对于计算器，今天在查找它的设置时，额外了解到：计算器在进行积分计算时，使用了很多估算方法，例如辛普森法、梯形法、或者高斯-勒让德积分等。通过这些方法，计算器在给定积分区间内选取若干采样点，以近似计算积分值。 这些数值积分算法对我而言还很陌生、又觉得好奇有趣，只无奈精力实在有限，无法深入学习。

在斯科特撰写的《数学史》一书中，P148页有一段简单的描述：沃里斯曾仿照卡佛来利的方法解决了纵坐标由的求积问题。 书上给出了如下若干积分及计算结果： 1、 2、 3、 4、 上面这4道题看起来还都是比较容易的，即便是第4题，只是计算量略微繁琐，但只要通过分部积分的方法，依然可以轻松得到答案。下面仅以第3题为例动笔跟着练习一下： 题目：计算 首先将多项式展开，然后利用分部积分法，对每一个简单积分进行求解，最终求和： 之所以使用第3题练笔，原因是后面的第4题如果如上方法推导的话，展开项更多，繁琐、浪费笔墨、且容易出错。但假设问题更复杂一点，例如想计算，恐怕就不再是“有一点繁琐”，而是会非常繁琐、几乎无法完成的事情了。 所以上面一系列相似的问题，还是应该再找一找更为通用、便捷的工具进行计算。自然而然的想到了利用换元法进行计算。以上面第4题为例尝试一下改用换元法完成计算吧： 考虑到积分范围是从0到1，计算式中又明显能够感受到毕达哥拉斯的味道，因而尝试对进行换元：。 换元准备1：重新调整积分上下限： 换元准备2：计算式换元： 换元准备3：微分项还原： 通过以上准备，最终完成换元： 至此问题得到了简化，能够看出最终的换元结果成为了B函数形态，将B函数原形写出来，目的是计算出B函数参数式： 即通过：， 可得到： 指明参数的B函数是： 使用转换： 最终得到Gamma函数： 其中，， 将以上三项计算结果带回Gamma计算式，得到最终结果 附：沃里斯简介 约翰·沃里斯（John Wallis，1616-1703）是17世纪英国著名的数学家、逻辑学家，也是剑桥大学三一学院的毕业生，后来成为牛津大学的萨维尔几何学教授。沃里斯在数学、物理学、密码学等多个领域做出了重要贡献，对微积分的早期发展也产生了深远影响。

两道题目如下： 1、计算： 2、求证： 一、计算： 解法1：极限定理法 当x趋于无穷时：分子是个正弦反复跳跃、极限不存在；分母x趋于无穷、极限也不存在。因而分子和分母都没有明确的极限值的情况下，无法用商的极限运算法则进行计算。 考虑使用乘积的极限运算法则进行计算：。 分解出来的两个因式的结果分别是有界函数和无穷小，他们的乘积等于0。 解法2：三明治法 因为，所以 左边有： 右边有： 不等式两端在x趋于无穷时，同时趋于0，所以中间的极限 二、证明： 这个证明比较难、甚至是非常难。虽然在《高等数学》和《普林斯顿微积分读本》的开始、最基础的章节中就有这个重要极限的介绍、以及证明。但实际上这两本书都故意忽略了一个基础极限：。 在《高等数学》§1.7中，这里几乎是“一笔带过”假装“显而易见”糊弄过去了；在《普林斯顿》§7.1.5中则是给出了上面的结论而也语焉不详的糊弄过去的。 两本书用的证明方法相同、也都忽略了上面提到的基础，我也先忽略、假装是个事实，完成证明：基本思想依然是利用三明治定理，设法找到两边的函数，通过两边的极限，夹近出的结果。 构建如上图形，其中圆为单位圆、半径，可以看出：，这个不等式的左中右分别为： 左侧： 中间： 右侧： 带入不等式，得到：， 将这个不等式各个部分除以并颠倒分子和分母、简单整理之后得到： 左侧：，注意这里是“假装显而易见先糊弄过去”； 右侧：， 通过三明治定理，即可夹近出中间的极限：。 注意上面的三明治极限都是取的，这是因为原式中的分母不能取0点，因而要分别求它的左极限和右极限，上面只是在计算右极限。相应的进行符号斟酌、调整，可以再求出左极限：。…

阿尔伯特·爱因斯坦曾在他的相对论中提出了一个著名的日全食实验，后来几经波折，最终被英国天文工作者和科学家们实施、最终证实了爱因斯坦关于光线会受重力场影响的观点及理论的正确性，这一理论和实验，标志着爱因斯坦相对论的正确性，从而轰动世界。 2019年5月16日，葡萄牙发行了一套关于爱因斯坦日全食实验的纪念邮票，包含邮票、首日封、小型张等多款邮品，官方介绍如下： 发行官网：https://www.ctt.pt/邮票技术手册：邮票官方介绍手册 这套纪念品中的邮票由2张票面构成，如果单看票面，只能知道它是纪念爱因斯坦提出的日全食实验，并不能对实验的具体原理详尽了解。在随邮票一同发行的产品手册中，则有着更多的信息介绍，可以清楚的看出实验的设计想法：通过在日全食时观察通过太阳周围临近恒星的位置，观察到光在重力场下会发生偏转、扭曲的事实。 爱因斯坦最初大约是在1905年时提出的狭义相对论，其中提到光线会被重力影响。但是最初的论文中并没有这个理论的设计实验，之后1907年时他对之前的论文进行补充、并在4年之后的1911年形成了一篇关于光线受重力影响的“补充论文”，其中给出了具体的理论公式和实验方案。在其理论计算下得出了光线可受太阳引力影响发生偏移的角度。这篇论文的原文和英文版在网络上可以找到。 上面是英文翻译版，下面是这篇论文的原稿： 然而在1911年提出这个实验时，并没有合适的日食事件可供实施这一实验。爱因斯坦呼吁当时的天文学家可以充分利用这段“等待期”进行筹备，他对这个观测实验十分期待并且投入了大量的精力以极力促成此事。 当时柏林大学天文台有一位年轻的天文学家埃尔文·弗伦德里希（Erwin Freundlich），读到了上面提及的论文和实验方案，他对此十分感兴趣，便与爱因斯坦联系并一同商讨进行此次天文观测。虽然如此，但限于爱因斯坦当时的学术权威和声望并不高，他的构想在当时并未获得更多人的支持，尤其是资金方面的支持。因而爱因斯坦甚至提出可以自己承担一部分费用、他给了弗伦德里希2000马克的资金用于初期准备。 就在前期准备得差不多、距离1914年8月的一次日全食不到20天时，第一次世界大战爆发了（1914年7月28日），德国裔的天文学家弗伦德里希在克里米亚被发现，俄国人认为随身携带着大量“摄影器材”的“天文学家”十分可疑，所以将他拘捕。从而失去了那一年日全食观测的机会。 想再一次盼到日全食，对于人类而言只能期待、别无他法。时间慢慢到达了1919年，是年5月29日将再一次发生日全食现象，好在那时战争已经结束（一战结束于1918年11月11日）。当时英国剑桥天文台的台长、天文学家阿瑟·斯坦利·爱丁顿（Arthur Eddington）决定完成爱因斯坦关于光线的实验——对当年的日全食进行观测和拍照。 整个实验都是由英国天文学家们共同策划、由英国相关部门出资支持的。这在当年很罕见，毕竟爱因斯坦当时身在德国、而英德两国在1919年时的关系并不友好。这一点上看来，科学家们似乎并不关心政治、也不在乎国与国之间的矛盾，他们向往和关注的只有科学和真理。 经过紧罗密补，1919年3月初，爱丁顿等人从利物浦出发，分成两支实验团队分别前往巴西北部的亚马逊丛林和普林西比岛，这两处都有着最佳的日全食观测地点。 之后的事情妇孺皆知、也是这套邮票上体现出来的了：1919年5月29日，由爱丁顿科考队在普林西比岛获得的照片最终被选用为实验结论样本，并通过后期的图像分析和计算，验证了爱因斯坦的光线理论。从而为相对论的底层补充上了重要的、无可动摇的实验依据。